Mantık, önermeleri ve bunların kanıtlama­lardaki kullanımlarını inceleyen disiplin. Bu inceleme, formel (biçimsel) mantıkta oldu­ğu gibi yalnızca soyut bir düzeyde yürütüle­bilir ya da uygulamalı mantıkta olduğu gibi doğru usavurmanın tekniği üzerinde yoğun­laşabilir.

Geçerli kanıtlamaların iki temel biçimi vardır: Verilen bir önermeden ya da bir önermeler kümesinden (yani öncüllerden) yeni bir önermenin (yani sonucun) elde edildiği tümden gelimli kanıtlamalar ve tekil olguları bildiren önermelerden genel kap­samlı bir sonucun elde edildiği tümevarımlı kanıtlamalar. Öncüllerin doğruluğunun ka­bul edilmesi durumunda tümdengelimli bir kanıtlamanın geçerliliğini, sonucun yanlışlı­ğının çelişkiye yol açması sağlar. Bu bakım­dan, geçerli bir tümdengelimli kanıtlamanın sonucu öncüllerden zorunlu olarak çıkar. Tümevarımlı bir kanıtlamanın öncülleri ile sonucu arasında olasılığa dayanan ya da istatistiksel bir bağlantı bulunur. Bu neden­le de tümevarımlı kanıtlamalar daha çok doğa bilimleri metodolojisi ile bilim felsefesinin ilgi alanına girer. Bu yüzden burada tümdengelimli mantık ve ayrımları ele alın­mıştır.

Tümdengelimli mantık dar anlamda öner­meler mantığı (eklemler mantığı) ve yük­lemler mantığı (ad deyimleri mantığı) ol­mak üzere ikiye ayrılır. Birinciye önermeler mantığı adının verilmesinin nedeni, yalnızca önermelerin ya da cümlelerin temel anlam­bilim kategorileri oluşturmasıdır. Bunların bir bölümü yalındır ve çözümleme gerektir­mez. bazıları bileşiktir ve örneğin, “ise’ …. o halde”, eklemlere “ve”, “ya ayrılabilir. Bunlar mantık sistemlerinde p, q, r ile gösterilirler. Ad deyimleri mantığında basit önermeler parçalarına ay­rılır ve bunlar ikinci bir temel anlam bilim kategorisi oluşturur. Örneğin, özel ad kate­gorileri (“Sokrates”, “Sokrates’in babası”) ya da cins ad kategorileri (“filozof’, “Atina vatandaşı”) gibi. Geniş anlamda ise sözdizi­mi ve anlambilim, mantık kuramlarının yapılarını inceleyen metamantık, zorunluluk ve olanak gibi kavramların mantığını inceleyen modal mantık ve mantıksal para­dokslar ile mantıksal yanlışlıkları inceleyen alanlardan oluşur. Buna karşılık mantıksal kavramların anlamlarının araştırılması mantık felsefesinin alanına girer.

Güçlükler karşısında gösterilen direnç.

Aristoteles ve önermeler mantığı

Aristote­les’in mantık üzerine yapıtları, Yunancada araç anlamına gelen Organon’da ( Orgomon, 1963) toplanır. Sistematik bir sıralama ile düzenlenmiş bulunan Organon şu kitaplar­dan oluşur: Kategoria (Kategoryalar), Peri hermenias ( Önerme ), Analytika pratera (Birinci Analitikler), Analytika ustera (ikinci Analitikler), Topika (Topikler) ve Peri sophistikon elekhon (Sofistçe Çürütmeler Üzerine).

Aristoteles tasım (kıyas) kuramına hazırlık olmak üzere doğal dilin sözdizimsel ve anlambilimsel yanlarını incelemiş ve öğret­meni Platon’u izleyerek ad ile fiili bir önermenin temel öğeleri olarak kabul et­miştir. Gene de daha çok adlarla ilgilenerek adları, genel adlar (“şey” gibi), tekil adlar (özel bir ad gibi), bir şeye atıfta bulunma­yan ,adlar ve sınırlı genellikteki adlar olarak sınıflandırmıştır. Asıl ilgi alanını ise bilimsel araştırmaların konusu olmaları nedeniyle sınırlı genellikteki adlar oluşturmuştur. Ad deyimlerinin kapsamına sıfatları da alan Aristoteles bu deyimleri kullanarak öner­meleri dört sınıfta toplamıştır:

1) Tekil önermeler: Sokrates beyazdır-Sokrates be­yaz değildir,

2) Tümel önermeler: Her insan beyazdır-hiçbir insan beyaz değildir,

3) Tikel önermeler: Bazı insanlar beyazdır-bazı in­şanlar beyaz değildir,

4) Belirsiz önermeler: insan beyazdır-insan beyaz değildir. Aristo­teles’in tasım kuramında yalnızca, kategorik önermeler olarak adlandırılan tümel ve tikel önermeler kullanılır.

Bu önermeler şu değişmeyen biçimlere sahiptir: “Her a, b’dir”, “Hiçbir a, b değildir. Burada a ve b ad deyimlerine karşılık gelir. Ortaçağ man­tıkçıları bu önermeleri sırasıyla A, E, I ve O harfleri ile göstermişlerdir.

Aristoteles tasım kuramında önce katego­rik önermeler ve arasındaki zıtlık ilişkilerini inceler. A ve I önermele­ri sırasıyla tümel olumlu ve tümel olumsuz, I ve O önermeleri ise tikel olumlu ve tikel olumsuzdur. A ve E önermeleri karşıt önermelerdir, bunlar birlikte doğru olmadıkları halde birlikte yanlış olabilirler. I ve O önermeleri ise alt karşıt önermelerdir; bunlar birlikte doğru olabildikleri birlikte YANLIŞ OLAMAZLAR. A ile I ve E ile O, altık önermelerdir; A (E) önermesi I (O) öner­mesini içerir. Bir kategorik önerme, içinde geçen ad deyimlerinin, yani a ile b’nin yerleri birbiriyle değiştirilerek döndürülür. Kategorik önermeler ile döndürülmüş kate­gorik önermeler arasında da mantıksal iliş­kiler vardır.

İki kategorik önermenin karşılaştırılarak yeni bir kategorik önermenin elde edilmesi­ne tasım denir. Karşılaştınlan iki önerme tasımın öncülleri, elde edilen yeni önerme ise sonucudur. Sonuç önermesinin öznesine yüklenen ad deyimi, “büyük terim” olarak adlandırılır. Geçerli bir tasımda, büyük terimin öncüllerden birinde bulunması ge­rekir. Sonuç önermesinin öznesi ise “küçük terim” olarak adlandırılır. Geçerli bir ta­sımda küçük terim, içinde büyük terim geçmeyen öncülde bulunur. Her iki öncülde de ortak olan “orta terim” öncüllerin karşılaştırılmalarını sağlar; orta terim sonuç önermesinde bulunmaz. İçinde büyük terim geçen önermeye “büyük önerme”, küçük terim geçen önermeye “küçük önerme” denir. Aristoteles tasım kuramında geçerli tasımı sağlayan kategorik önerme ikililerini sistematik olarak incelemiştir. Orta terimin öncüllerdeki yeri, tasımın biçimini belirler. Bu biçimlerin birincisine göre orta terim, büyük önermenin öznesi ve küçük önerme­nin yüklemidir. Aristoteles tasımın birinci biçiminde geçerli olan dört mod belirlemiş­tir; bunlar ortaçağdaki adlandınlmalarıyla kısaca şöyle gösterilir;

Tasım modlarının adlarında geçen sesli harfler, kıyasta geçen kategorik önermeleri göstermektedir; bunlar sırasıyla, AAA, EAE, All ve EIO’dur. Aristoteles öncül­lerde büyük terimin özne ve küçük terimin de yüklem olarak geçtiği tasım biçiminden söz etmeıniştir. Oysa, bu tasım biçiminin beş geçerli modu vardır. Aristoteles’in öğ­rencilerinden Theophrastos, birinci biçim üzerinde yaptığı bir düzenleme ile Aristote­les’in dikkate almadığı beş geçerli tasım modunu tasım mantığının kapsamına almış­tır. Aristoteles tasım mantığını geliştirme­nin yanı sıra zorunluluk, olanaklılık ve olumsallık kavramlarının incelendiği moda! mantık alanına da katkılarda bulunmuş, bu kavramların tanımlarını şöyle vermiştir:

1) Bir önerme, ancak ve ancak, değillemesi olanaksız ise, zorunludur.

2) Bir önerme, ancak ve ancak, değillemesi zorunlu değil ise, olanaklıdır.

3) Bir önerme, ancak ve ancak, ne zorunlu ve ne de olanaksız ise, olumsaldır

Aristoteles’in modal tasım mantığı konu­sundaki düşüncelerinin, kendi kurduğu Lykeion’da tartışıldığı bilinmektedir. Ama, Aphrodisias’lı Aleksandros’un (ü. y. 200) bu tartışmalara ilişkin kayıtları günümüze ulaş­madığı için bu konuda ayrıntılı bilgi yoktur. Aristoteles’in öğrencisi Theophrastos’un mantık konusundaki yapıtları kaybolmuş olmakla birlikte, tasım mantığının sistemleştirilmesinde önemli katkılan bulunduğu ikincil kaynaklardan bilinmektedir. “İnsan beyazdır” önermesinin belirsiz olmak yerine “bazı insanlar“a atıfta bulunan tekil bir önerme olduğunu ileri süren Theophrastos, tasımın birinci biçimini de yeniden tanımla­yarak Aristoteles’in dikkate almadığı beş modu geçerli tasımların kapsamına almıştır. Modal tasım kuramından olumsal önerme­leri çıkartan Theophrastos, doğru bir öner­meyi zorunlu bir önermeden daha zayıf olan, olanaklı bir önermeyi ise doğru bir önermeden daha zayıf olan önerme biçi­minde tanımlamıştır; tasımın sonucunun, tasımın en zayıf öncülünden modalite bakı­mından daha kuvvetli olamayacağını kabul etmiştir.

Önermeler mantığının temellendirilmesi

Önermeler mantığı konusundaki en eski düşünceler Theophrastos’un, Megaralıların ve Stoacıların yapıtlarında yer alır. Aphro­disias’lı Aleksandros’a göre Theophrastos, Aristoteles’in ilk üç tasım biçimini hipotetik tasım olarak şöyle göstermiştir;

1., 2. ve 3. biçimleri gösteren çıkarım kalıplarındaki p, q ve r harfleri özne ve yüklem yerine, önermeleri göstermektedir. Bu önermeler Theophrastos’un tasım man­tığında kategorik önermelerin karşılığıdır. Theophrastos, bu çıkarım kalıplarını Aris­toteles’in ad ifadeleri üzerinde oluşturduğu tasım mantığına eklemek istemiş, ama ken­di hipotetik tasımlarının önermeler mantığı gibi daha farklı bir mantık kuramının kap­samında yer aldığını görememiştir. Bu olgu daha sonraları Megaralı mantıkçılar ve stoa­cılar tarafından fark edilmiştir. Megara okulunun ünlü mantıkçıları arasında  Eubu­lides (İÖ. 4. yy), diyalektikçi Diodoros Kronos (ö. İÖ y. 307) ve Diodoros’un öğrencisi Megaralı Philon bulunmaktadır. Aristoteles’i eleştiren ve mantıksal para­dokslar üzerinde incelemelerde bulunan Eubulides, zorunluluk ve olanaklılık gibi modal kavramlar ile geçmiş, şimdi ve gele­cek kavramları arasında bağlantı kurmaya çalışmıştır. Philon ise, mantıksal içermeyi bir doğruluk  fonksiyonu olarak ele almış ve “p ise q” önermesinin, ancak ve ancak, p yanlış ya da q doğru olduğunda, doğru olacağını savunmuştur.

Mantıksal içermenin yanı sıra “ve”, “ya da”, “değil” gibi öteki doğruluk eklemleri­nin de Philon tarafından birer doğruluk fonksiyonu olarak ele alınıp alınmadığı bilinmemekteyse de, stoacılığm kurucu­larından Soloili Khrysippos’un (ö. İÖ. 207)bu eklemleri birer doğruluk fonksiyonu olarak yorumladığı anlaşılmaktadır.

Mantık konusunda Lykeion ile stoacı okul arasında zayıf bir işbirliğinin gerçekleştiril­diği söylenebilir. Bu iki okulun geliştirdiği mantık terimleri farklıdır. Mantık stoacılar için felsefenin bir parçası, gezimci filozoflar için ise bir araçtır. Aristoteles tasımlarını dolaysız mantıksal ilkeler biçiminde sunar­ken, stoacılar çıkarım kalıplarından yarar­lanmışlardır. Ama geçerli çıkarım kalıplarının mantıksal ilkelere dayandığını da bilen stoacılar, bu kalıpları ilkelere dönüştüren basit bir yöntem kullanmışlardır. Aristote­les ve öğrencileri mantıksal değişkenleri harfler ile, stoacılar  ise sayılar ile göster­mişlerdir. Stoacılar ve gezimciler mantığın uygulaması konusunda da farklılık gösterir­ler. Stoacılar biçimsel bir yaklaşım içinde olmuşlar ve iki ifadenin aynı anlamcı, gele­bilmesi için aynı mantıksal biçimde olması gerektiğini savunmuşlardır. Oysa gezimci­lerde dilsel açıdan önemli olan bir esneklik vardır. Bu iki okul arasındaki en önemli fark ise, gezimcilerin tasım mantığının, ad deyimleri mantığının kapsamına, stoacıla­nn çıkarım kalıplarının ise önermeler man­tığınJn kapsamına girmesidir. Galenos’un (ö. IS 199) döneminde ise, bu iki okulun geliştirdiği mantıklar genel felsefe eğitimi­nin bir bölümü durumuna gelmiştir. Theo­phrastos ve Khrysippos’tan sonra mantıkta önemli yenilikler ortaya çıkmamıştır. Gale­nos’un Aristoteles, Theophrastos ve Khrysippos’un yapıtları üzerine yazdıkları günümüze ulaşmamıştır. Ahprodisiaslı Aleksandros, Plotinos’un öğrencisi Porphyrios (ö. 301), Yeni-Platoncu mate­matikçi Ammonios Hermiai (5. yy) ve Hermiai’nin öğrencisi Simplikios’un mantık konusundaki yazıları kısmen de olsa günü­müze ulaşmıştır.

Ortaçağ mantığı

Eski çağın bitimini izle­yen ilk 500 yılda mantıkta herhangi önemli bir gelişme olmadı. Bu durum, Tanrı’nın varlığı konusundaki ontolojik ispatıyla tanı­nan Canterbury’li Aziz Anselmus (ö. 1190) ve önemli bir diyalektikçi ve ilahiyatçı olan Petrus Abaelardus’un (ö. 1144) çalışmaları ile birlikte değişmeye başladı. 12. yüzyılda, Organon’un çevrilmemiş bölümlerinin Latince çevirileri yapıldı. Bu çeviriler, “eski mantık” çerçevesinde ele alınmayan birçok konuyu güncelleştirdi ve “yeni mantık”ın oluşmasına yol açtı. 13. yüzyılda mantıkçı­lar, Aristotelesçi geleneksel görüşe bağlı kalan logica antiqua’yı (eski mantık) savu­nanlar ve daha serbest bir tutum izleyerek logica moderna’yı (yeni mantık) savunanlar olmak üzere ikiye ayrıldılar. İngiliz mantık­çı Sherwood’lu William bu yeni akımın önde gelen temsilcilerindendir. William’ın öğrencisi ve daha sonra da papa olan İspanyol Pedro’nun (XXI. Johannes) yaz­mış olduğu mantık ders kitabı, bu yeni akımın görüşlerini sonraki 300 yıl boyunca temsil etmiştir. 14. yüzyıl mantıkçıları ara­sında aynı zamanda bir felsefeci olan Ock­ham’lı William, bir bilim adamı olan Jean Buridan ve Saksonyalı Albert önemli yer tutarlar. 15. yüzyılda, Venedikli ilahiyatçı Paolo’nun (Paulus Venetus) yazdığı Logica magna (Büyük Mantık) ise geniş kapsamlı bir mantık kitabıdır. Eskiçağda olduğu gibi ortaçağda da dil üzerindeki araştırmalar mantığın gelişmesinde önemli rol oynadı. Ortaçağ mantıkçıları Aristoteles’i izleyerek adlarla fiilleri ayırdılar ve bunu bir önermenin öznesi ile yüklemi arasındaki ayrım olarak değerlendirdiler. Önermenin öznesi ve yüklemi olan deyimleri categore­mata (Yunanca kategorein: “yüklemek”) olarak adlandırdılar ve bunları, önerme içinde geçen ve syncategoremata (Yunanca synkategorein: “birlikte yüklemek”) adını verdikleri “her” “hepsi” “bazı” “yalnız­ca” gibi terimlerden ayırdılar.

Hem katego­rematik, hem de sinkategorematik deyim­ler, anlamlı deyimlerdir; ama, kategorema­tik bir deyim dil dışındaki bir nesneye atıfta bulunurken sinkategorematik bir deyim dil dışında herhangi bir şeye atıfta bulunma­makta ve bu da terimin anlamı açısından sorun yaratmaktadır. Skolastik mantıkçılara göre sinkategorematik bir deyimin işlevi, önerme içerisindeki kategorematik deyim­lerin gösterdikleri şeyleri değiştirmek ya da düzeltmekten oluşur; bu işlev, kategorema­tik deyimlerin belirsizliği sorunu ile ilgilidir. Skolastik mantıkçılar bu iki sorunu, kabul kuramı ile çözmeyi denediler. Skolastiklerin mantığa yaptıkları en önemli katkı olarak değerlendirilen bu kurama göre, kabul, kategorematik bir terimin bir önerme içinde kazandığı özelliktir. Örneğin, “İnsan ölüm­lüdür” önermesindeki “insan” terimi biçim­sel kabule sahiptir; oysa aynı terim, “İnsan bir addır” önermesi içinde maddi kabule sahiptir. Daha çağdaş bir deyişle, birinci önermedeki “insan” kullanılmakta, ikinci önermedeki “insan” ise anılmaktadır. Sko­lastiklerin biçimsel kabul ve maddi kabul arasındaki ayrımları, kategorematik terimin önerme içinde kullanılması ile anılması arasındaki ayrıma benzemektedir. “Her insan ölümlüdür,” önermesindeki “insan” terimi birçok insanı gösterir; bu bakımdan da kabulü ortaktır. “Bu insan koşuyor,” önermesinde geçen “insan” terimi ise belli bir insanı gösterir; dolayısıyla, kabulü tekildir.

Ad deyimleri mantığı, önermeler mantığı ve modal mantık arasındaki ayrım ortaçağ­da da ortaya çıktı. Skolastik mantıkçılar tasım mantığında değişken kullanmayı bıra­karak mantıksal ilkeleri standart örnekler ya da metamatiksel terimlerle ifade etme yoluna gittiler. Önermeler mantığı ortaçağa Boethius aracılığıyla aktarıldı. “Vargılar kuramı” olarak ele alınan önermeler mantı­ğı önce tasımla sınırlı kaldı; daha sonra da önermelerin içerikleri göz ardı edildi ve kuram stoacı mantığın sahip olduğu genelli­ğe ulaştı. Skolastikler vargı kuramının çer­çevesi içinde “ve”, “ya da” gibi mantıksal eklemler yoluyla elde ettikleri bileşik öner­meleri de kullandılar ve bu tür önermeleri doğruluk fonksiyonları olarak yorumladılar.

Ortaçağda Araplar arasında da mantık çalışmaları yaygınlaştı. 9. yüzyılın ortalarına gelindiğinde, Porphyrios’un Isagoge’si (Isa­goji, 1948//Isagoge, 1986), Aristoteles’in Ka­tegoria, Peri hermenias ve Analytika prote­ra’sı önce Süryaniceye, ardından da Arap­çaya çevrilmişti. Organon’un geri kalan bölümleri de yüzyılın ikinci yarısında çevril­di. Galenos’un yapıtları da Arap bilginleri­nin ilgisini çekti ve bu yolla Stoacıların mantık görüşleri Arap mantıkçılarına ulaşa­bildi. Bağdat’ta 10. yüzyılda gelişen bir mantık okulunda Aristoteles’in Organon’u üzerine özgün bir çalışma yapıldı. Bu çalışmaya katılanlar arasında Ebu Bişr Matta bin Yunus, Araplara Platon ve Aristoteles’in görüşlerini aktaran Farabi ve onların öğren­cisi Yahya bin Adi sayılabilir. Ama Farabi’ nin bazı yorumları dışında bu grubun Aris­toteles yorumları ve kendi özgün mantık çalışmaları günümüze ulaşmamıştır. İslam bilginlerinden İbn Sina’ya (ö. 1037) göre Bağdat okulu Aristotelesçi geleneğe körü körüne bağlıydı. O daha bağımsız bir yol izledi ve kendi mantık kavramını Kitabü’ş- Şifa’da dile getirdi. İslam geleneği içinde Batılı olarak görülen Bağdat okulu 11. ve 12. yüzyıllarda Arap egemenliği altındaki İspanya’da yeniden canlandı. İbn Rüşd’ün çalışmaları bu dönemin doruk noktasını oluşturur. İbn Rüşd yaptığı Organon yo­rumları ile Batılı bilim adamlarının ilgisini
yeniden Aristoteles’e çekti.

14. ve 15. yüzyıllarda Arap bilginlerinin mantık çalış­maları el kitaplarını derlemek ve daha önce­ki mantıkçıların yapıtlarına notlar yazmakla sınırlı kaldı. Ama Batı’da Organon’un çok küçük bir bölümünün bilindiği dönemde Arapların ona ilgi duymaları, mantık bilimi­nin gelişmesini önemli ölçüde etkiledi.

Modern mantık

16. yüzyılın ortalarında, Aristoteles’e karşıt görüşler ileri süren Pet­rus Ramus mantığa yeni bir yaklaşım getir­di. Mantığın bir “tartışma sanatı” olduğunu, bu nedenle de gramer ve retorik gibi üslup ile ilgili konulardan ayrı ele alınması gerek­tiğini savundu. Ramus’a göre mantığın ince­lemesi gereken konular kavramlar, hüküm­ler, çıkarımlar ve ispatlardan oluşmalıydı. Ramus’un mantığın bölümlerine ilişkin öne­rileri Port-Royal mantıkçıları tarafından da benimsendi. 1662’de Fransızca olarak ya­yımlanan, İngilizce çevirisi ise 1851’de yapı­lan La Logique: Ou l’art de Penser’in  (Mantık ya da Düşünme Sanatı) I. ve II. bölümleri kavramlar ve hükümlerin ince­lenmesine ayrılmıştı. Kitabın III. bölümün­de usavurmanın ve tasım mantığının siste­matik bir incelemesi veriliyordu. IV. bö­lümde ise yöntem konusu ele alınıyor ve Eukleides’in Stoikheia (Elemanlar) adlı ki­tabı bilimsel yönteme örnek gösteriliyordu. Port-Royal mantığı, Gottfried Wilhelm Leib­niz’in ortaya attığı yeni mantık kavramına karşın etkisini 19. yüzyılın ortalarına değin sürdürdü.

Modem mantık 17. yüzyılda Leibniz ile başladı ve gelişmesini matematik ile ortakla­şa sürdürdü. Leibniz’in mantığa somut iki tür katkısı oldu. Bunlardan ilki, Aristote­les’in tasım mantığının yorumlanmasında matematiksel yöntemleri başarıyla uygula­ması, ikincisi ise cebrin bazı bölümlerinin aritmetiksel olmayan yorumlarının bulun­duğunu göstermesidir. Leibniz’in tasım mantığının  inceleme yöntemi, onun ayrılık ve farklılık kavramlarına duyduğu ilgiyi de yansıtmaktadır. Leibniz’e göre, önermenin doğruluğunu değiştirmeden biri öbürünün yerine yazılabilen iki terim “aynı”dır. Bu ilke, günümüzde, ad deyimlerine ilişkin kaplam yasasını anımsatır: “Her a ve her b için, a=b ancak ve ancak [her F için, F(a) ancak ve ancak F(b)]“. Kaplam yasasındaki “a=b”, a’ların b’lerle aynı olduklarını gös­terir. “F” ise, herhangi bir yüklemin yerine geçer; “F(a)” ise, “a, F’dir” önermesine karşılık gelir.

Aristoteles’in tasım mantığının matema­tikçiler tarafından yeterli bulunmayışı yeni arayışlara yol açtı. Leibniz’den sonra Jo­hann Heinrich Lambert ve Gottfried Plouc­quet diyagramların kullanıldığı bir tasım hesabı (kalkulus) geliştirdiler. 18. yüzyılda, İsviçreli matematikçi Euler diyagramların kullanıldığı tasım hesabını daha da geliştir­di. Ama, Euler’in tasım hesabının tasımın bazı temel yasalarını sağlayamadığı daha sonra anlaşıldı. Diyagramlı tasım hesabı matematikçilerin ilgisini çekmeye 19. yüz­yılda da devam etti. Fransız matematikçi Joseph Diez Gergonne tasım hesabına daha soyut bir biçim verdi.

Tasım mantığının genişletilmesi konusun­da Augustus De Morgan’ın 19. yüzyılın ikinci yarısındaki çalışmaları, önceki man­tıkçıların çalışmalarına göre daha başarılı sonuçlar ortaya çıkardı. De Morgan, terim­lerin kaplamlarını karşılaştırabilmek için yeni bir simge kullanımı geliştirdi. Buna göre, X) ve (Y işaretleri, X ve Y terimleri­nin kaplamlarının tamamının, X ( ve ) Y işaretleri de, aynı terimlerin kaplamlarının bir kısmının dikkate alınmakta olduğunu göstermektedir. X))Y gibi bir işaret ise, X teriminin kaplamının tamamının, Y terimi­nin kaplamının bir bölümü ile aynı olduğunu belirtmektedir; yani, her X’in Y olduğu­nu söylemektedir. De Morgan, terimlerin kaplamlannın birbirini dışlamasını “.” ile gösterdi; buna göre, X).(Y işareti hiçbir X’in Y olmadığını söylemektedir. Değille­nen terimler, De Morgan’ın sisteminde kullanılan en basit terimlerdir ve x, y gibi küçük harflerle gösterilmiştir. x, değil-X anlamına gelmektedir. Buna göre de x ile X, çelişik bir terim ikilisi oluştururlar. De Morgan bu işaretler aracılığıylıı tasımın olumlu kategorik önermelerini oluşturdu.

De Morgan, kategorik olumlu önermeleri eşdeğerli önermelere dönüştürebilmek için bir yol buldu: Önerme terimlerden birini, bu terimin çelişiği ile değiştirin ve parante­zini ters çevirin; parantezler arasına bir nokta koyun; daha önceden bulunan bir nokta varsa iptal edin. De Morgan’ın yön­temi, ad deyimlerinin mantığını genişletme­nin yanı sıra daha önce tasım mantığında yer almayan bağıntı konusunun bu mantığın kapsamına alınmasına yol açtı.

Leibniz’in aritmetiksel yoruma açık olma­yan cebirsel bir hesap kurulması doğrultu­sundaki öncü çabaları daha sonraları Plouc­quet, Lambert ve matematikçi Jean Castil­lon tarafından sürdürüldü. Ama bu konuda­ki asıl önemli gelişmeler İngiliz matematikçi George Boole (ö. 1864) tarafından gerçek­leştirildi. Boole, gerçek bir cebirsel hesa­bın, işaretlerin iyi tanımlanmış genel birleş­tirme kurallarına uygun olarak kullanılması sonucu kurulabileceği düşüncesini taşıyor­du. Böyle bir hesap, Boole’a göre iki türlü yorumlanabilmeliydi. Şeyler (nesneler) ara­sındaki bağıntılara göre ve olgular arasında­ki bağıntılara göre. Böyle bir ayrım, ad deyimleri mantığı ile önermeler mantığı arasındaki ayrıma karşılık gelmektedir. Ama Boole’un, önermeler mantığının ad deyimleri mantığına göre öncelik taşıdığını görmüş olduğu söylenemez. Boole cebri şeyler arasındaki bağıntılar açısından yo­rumlandığında, ad ifadeleri mantığı çerçeve­si içinde düşünülen sınıflar elde edilir. “x= y”, x ve y sınıflarının aynı üyelere sahip olduğunu belirtir. xy, hem x, hem de y’de ortak olarak bulunanların sınıfını, “x+y” ve x ve y ortak bir üyeye sahip olmadıklarında x ve y’deki şeylerin sınıfını, “x-y”, x’te bulunup da y’de olmayan şeylerin sınıfını “1”, evrensel sınıfı ve “0” boş sınıfı göste­rir. Boole cebri önermeler mantığının çer­çevesi içinde de yorumlanabilir. Böyle bir
yorumda x,y ve z değişkenleri önermelere karşılık gelir. “xy”, “x ve y” önermesini, “x + y”, “Ya x, ya da y, ancak x ile y birlikte değil” önermesini, “-x”, “hal o değildir ki x” (ya da, “değil-x”) önermesini gösterir. “1” ve “0”, sırasıyla, doğru ve yanlış önermeleri temsil eder. “=” ise, “ancak ve ancak” anlamında bir eş-değerlilik olarak yorumlanır.

Boole cebri, İngiliz iktisatçı ve mantıkçı William Stanley Jevons tarafından geliştiril­di. Jevons, =”her x için, x+x=x” ve “her x için, x+-x= 1” gibi ifadelerin, hem sınıf, hem de önerme yorumunda doğru oldukları halde aritmetikte doğru olmadıklarını gös­terdi ve mantıksal çıkarımların geçerlilikle­rini denetleyen mekanik bir aygıt yaptı.

ABD’li mühendis, mantıkçı ve pragma­tik düşünür Charles Sanders Peirce de ad deyimleri mantığı ile önermeler mantığının, aynı Boole cebrinin iki farklı yorumu olduk­larını savundu. “x + y”nin, x ve y’de ortak olarak bulunanı dışlamadan yorumlanması gerektiğini ileri süren Peirce ayrıca bir de içerme bağıntısı tanımladı: a-<b (her a olan b’dir; a ise b). Peirce, Alman matematikçi ve mantıkçı Frege’den bağımsız olarak, önermeler mantığı için “ise” eklemi üzerin­de temellendirilen bir aksiyom sistemi de kurdu. Mantık cebrindeki sabit terimler, yani mantıksal eklemler için doğruluk tablo­su yöntemini de geliştiren Peirce, iki değerli mantıkta 256 tane ikili önerme eklemi bulunduğunu gösterdi. Çok değerli mantık sistemleri konusunda da 20. yüzyıl mantığı­na öncülük eden Peirce, bağıntılar kuramını oluşturmak için gerekli olan “niceleyici” kavramını (“her a için … ” ve “bazı a için … “) geliştirdi.

Alman matematikçi ve mantıkçı Ernest Schröder, Boole cebrini tümdengelimli bir mantık sistemine dönüştürdü. İçerme ba­ğıntısını temel alan bu sistem yoluyla Schrö­der ayrıılık ve bağıntı kuramlarını geliştirdi. Schröder ve Boole cebri üzerinde çalışan öteki mantıkçı ve matematikçiler bu cebrin iki farklı yorumunu oluşturan ad deyimleri mantığı ile önermeler mantığı arasındaki bağlantı ile ilgilenmediler. Gottlob Frege’ nin araştırmaları ise bu bağlantıyı açığa çıkardı.

Frege’nin ilgilendiği temel sorun sayı kav­ramının tanımlanmasıdır. Doğal sayı kavra­mını tanımlayabilmek için yalnızca mantığın yeterli olduğuna inanan Frege, aritmetiğin ve dolayısıyla da matematiğin mantığa in­dirgenebileceği görüşünü savundu. Bunun için, Begriffsschrift (1879; Kavram Notları) adlı kitabında matematiğin teoremlerini ve ispat yollarını ifade edebilecek yeni bir işaret dili geliştirdi.

20. yüzyılın başlarında, İngiliz matematikçi ve mantıkçıları Alfred North Whitehead ve Bertrand Russell, Principia Mathematica’da (1910-13; Matematiğin ilkeleri) matematik­sel mantığı tümdengelimli bir sistem olarak geliştirdiler. Mantıksal eklemlerin birbirleri cinsinden tanımlanabilmeleri sorunu Ame­rikalı mantıkçı Henry M. Sheffer tarafından çözüldü. Sheffer, “p ve q” önermesinin değillenmesi ile tanımlanan eklemi kullanarak öteki bütün eklemlerin tanımlanabil­diğini gösterdi. Polonyalı mantıkçı J. tuka­siewicz (ö. 1956) ise Principia’nın getirdiği mantıksal içerme kavramına karşı çıktı; modalitelerden yararlanarak daha kuvvetli içerme sistemleri oluşturdu.